Senin, 07 Januari 2013

PROJECT KOMPUTASI SEMOGA DAPAT NILAI BAGUS

BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Komputasi sebetulnya bisa diartikan sebagai cara untuk menemukan pemecahan masalah dari data input dengan menggunakan suatu algoritma. Hal ini ialah apa yang disebut dengan teori komputasi, suatu sub-bidang dari ilmu komputer dan matematika. Selama ribuan tahun, perhitungan dan komputasi umumnya dilakukan dengan menggunakan pena dan kertas, atau kapur dan batu tulis, atau dikerjakan secara mental, kadang-kadang dengan bantuan suatu table. Namun sekarang kebanyakan komputasi telah dilakukan dengan menggunakan komputer. Metode Newton (lengkapnya Newton—Raphson, disingkat NR) merupakan salah satu metode terpopuler untuk menghampiri penyelesaian persamaan f (x) 0 = secara iterative. Metode NR menggunakan sebuah hampiran awal dan nilai turunan padanya untuk mendapatkan hampiran berikutnya. Meskipun metode NR memerlukan perhitungan turunan fungsi, dengan program Matlab untuk masukan cukup digunakan rumus fungsinya dan Matlab dapat menghitung turunan fungsinya. Hal ini dilakukan dengan perhitungan simbolik. Program Matlab yang disusun dengan program-program implementasi metode NR yang ditemukan di dalam berbagai literatur. Pada suatu permasalahan fisika, banyak soal-soal yang sulit untuk diselesaikan secara analitik. Alternatif lain untuk mendapatkan hasil yang diingikan adalah menggunakan metode numerik. Kali ini kita menggunakan metode newton raphson untuk menyelesaikan suatu problem fisika. Metode ini diturunkan dari ekspansi deret Taylor disekitar akar x. Rumusan Masalah Bagamana implementasi metode Newton Raphson dalam menyelesaikan gas ideal dengan program MATLAB dan analitiknya? Tujuan tujuan fisika komputasi yaitu mahasiswa mampu mengeksploitasi secara efektif piranti komputer dalam aktivitas keilmuan fisika dengan keseimbangan intuisi fisika, analisa numerik dan pemrograman komputer , bisa tercapai. BAB II DASAR TEORI 2.1 Metode Newton Raphson Metode ini diturunkan dari ekspansi deret Taylor disekitar akar x. Andaikan awaknya diberikan nilai x1 sehingga terjadi simpangan d=(x1 -x) dari akar yang dicari, atau bisa ditulis bahwa x=(x1.-d) Ekspansi deret Taylor disekitar x memberikan f(x)= f(x1-d)=f(x1)-d*(x1)+0(d^2 ) Karena nilai fungsi di titik akar x adalah f(x) = 0, maka: 0= f(x1)-d*f’(x1)+0(d^2 ) D=f(x1)/(f^' (x1) )+0(d^2 ) Dengan menganggap bahwa O(d2) adalah error komputasi maka dan bahwa d = x1-x, persamaan iterasi Newton dapat ditulis sebagai berikut: x=x1-d=x1-f(x1)/(f^' (x1) ) atau X_(n+1)=Xn-f(x1)/(f^' (x1) ) Metode Newton Raphson ini memiliki paling tidak dua kelebihan dibanding metode biseksi, yaitu hanya memerlukan satu titik coba awal dan iterasinya berjalan lebih cepat. Kekurangannya yaitu f(x) harus bisa diturunkan karena nilai f’(x) diperlukan dalam komputasi. Hal lain yang perlu diperhatikan adalah pemilihan titik awal harus disekitar akar yang diingikan karena bisa saja proses menjadi divergen atau berosilasi karena titik awalnya sangat jauh dari akar yang dicari. Metode Newton raphson adalah metode iterasi lain untuk memecahkan persamaan f(x)=0, dengan f diasumsikan mempunyai turunan kontinyun f’. Secara geometri metode ini menggunakan garis singgung sebagai hampiran fungsi. Gagasan dasarnya adalah grafik f dihampiri dengan garis-garis singgung yang sesuai. Dengan menggunakan suatu nilai X0 sebagai tebakan awal yang diperoleh dengan melokalisasi akar-akar dari f(x) dan garis singgung pada kurva f di titik (x1,f(x1). Prosedur yang sama diulang, menggunakan nilai terbaru sebagai nilai coba untuk iterasi selanjutnya. Ilustrasi salah satu iterasi metode Newton (fungsi ƒditunjukkan dengan warna biru dan garis singgung dalam warna merah). Kita melihat bahwa xn+1 adalah hampiran yang lebih baik daripada xnuntuk akar x dari fungsi f. 2.2 Definisi Iterasi Newton Raphson (Atkinson, 1993:69; Mathew, 1992:72) Misalkan fungsi f mempunyai turunan pertama f’. barisan x_0, x_1, x_2, ….yang diperoleh dari iterasi untuk n= 1,2,3,… disebut barisan iterasi Newton. Fungsi g yang didefinisikan sebagai disebut fungsi iterasi Newton – Raphson 2.2 Penurunan Rumus Iterasi Newton Raphson Iterasi Newton – Raphson berawal dari sebuah hampiran awal untuk akar r, kemudian menghitung hampiran selanjutnya dengan cara sebagai berikut: Misalkan x_n adalah hampiran awal pada langkah ke-n, n=0,1,2,3,… Hitung gradient garis singgung trhadap kurva y= f(x) di titik (x_n, f(x_n)), yakni f’ (x_n) dan temtikan persamaan garis singgungnya, yakni y= f’ (x_n) (x-x_n)+ f(x_n) Hampiran berikutnya adalah absis titik potong garis singgung tersebut dengan sumbu-x, yakni Langkah tersebut diperlihatkan pada gambar: Rumus iterasi juga dapat diturunkan dari deret Taylor f(x) disekitar Xn, yakni: dengan mengasumsikan x0 dan hampiran berikutnya, Xn cukup dekat ke akar r dan mengabaikan suku ke-3 dan seterusnya pada ruas kanan akan diperoleh. Dalam hal ini fungsi f(x) telah dihampiri oleh garis singgung di titik (x_n, f(x_n)), Jadi pada prinsipnya sama dengan pendekatangeometris sebelumnya. 2.3 Kelebihan dan Kekurangan Metode Newton Raphson BAB III SOAL DAN PENYELESAIAN 3.1 Soal The van der Waals equation of state, a simple extension of the ideal-gas law discovered in 1873 by Dutch physicist Johanes Diderik van der Waals, is (p+(n^2 a)/V^2 )(V-nb)=nRT Where the constant a and b, characteristic of the substance of the gas, are determined experimentally. For P in atmosphere, V in liters, n in moles, and T in kelvins. R is approximately 0.0820 liter atm deg-1mole-1. The volume of 1 mole of a perfect gas at standard conditions (1 atm, 273 K) is 22.415 liters. Find the volume occupied by 1 mole of the following gases, with given values of a and b : gas O_2, a= 1,36 ;b= 0,0318 3.2 Penyelesaian Langkah pertama adalah menentukan fungsi dari persamaan Van der Waals seperti berikut: (p+(n^2 a)/V^2 )(V-nb)=nRT PV+Pnb+(n^2 a)/V^2 -(n^3 ab)/V^2 =nRT Kedua ruas dikalikan dengan V2 sehingga: 〖PV〗^2+〖PnbV〗^2+n^2 aV-n^3 ab=nRT 〖PV〗^3+〖PnbV〗^2-nR〖TV〗^2+n^2 aV-n^3 ab=0 Kita substitusikan nilai P = 1 atm, T = 273 K, n = 1 mol sehingga kita dapatkan fungsi V^3+〖bV〗^2-22,386V^2+aV-ab=0 Selanjutnya untuk Gas O_2 diperoleh persamaan: V^3-22,3542V^2+1,36V-0,0432=0 Setelah fungsi dari gas didapatkan, selanjutnya kita buat listing program MATLAB untuk mencari akar riilnya. Perlu diingat bahwa fungsi dari tiap kasus berbeda sehingga untuk mencari akar dari kasus yang berbeda kita harus mengganti fungsi yang ada pada program MATLAB terlebih dahulu. Berikut ini listing program untuk mencari akar riil dari fungsi gas O_2 yang telah ditentukan: Metode Newton – Raphson Kita buat Mfile M-File (lembar kerja 1) function y=fungsigas(t) y=t^3-(22.3542*t^2)+(1.36*t)-0.0432; Karena dalam metode Newton Raphson memerlukan turunan fungsinya maka kita juga harus membuat listing fungsi turunannya seperti berikut: M-file (lembar kerja 2) function y=turunangas(t) y=(3*t^2)-(44.7084*t)+1.36; Setelah membuat fungsi utama beserta turunannya, kita buat program perhitungannya. Ketik pada Common Window M-file (lembar kerja 3) toleransi=0.00001; i=0; v0=22.415; fv0=fungsigas(v0); while (abs (fv0)>toleransi) i=i+1; v0=v0-(fungsigas(v0)/turunangas(v0)); fv0=fungsigas(v0); %Hitung f(Xn+1) fprintf('%d %f %f\n',i,v0,fv0); end Kemudian output yang didapat adalah 22.294591 0.649091 22.293282 0.000076 22.293282 0.000000 Penyelesaian Manual Metode Newton – Raphson f(x)= V^3-22,3542V^2+1,36V-0,0432 f’(x)= 3V^2-44,708V+1,36 X_0= 0 f(0)=-0,0432 f’(0)= 1,36 X_1 = x_0-f(0)/(f’(0)) = 0- ((-0,0432))/1,36 =0,0316 Toleransi= |X_1-x_0 | = |0,0316-0|= 0,0316> 〖10〗^(-6) (tidak konvergen) f(0,0316)= 〖0,0316〗^3-22,3542〖(0,0316)〗^2+1,36(0,0316)-0,0432= -0,0225 f’(0,0316)= 3〖(0,0316)〗^2-44,7084(0,0316)+1,36= -0,0497 X_2 = x_1-f(0,0316)/(f’(0,0316)) = 0,0316- ((-0,0225))/(-0,0497) = 0,421 Toleransi= |X_2-x_1 |= |0,421-0,0316|=0,389>〖10〗^(-6) (tidak konvergen) f(0,421)= 〖0,421〗^3-22,3542〖(0,421)〗^2+1,36(0,421)-0,0432= -3,358 f’(0,421)= 3〖(0,421)〗^2-44,7084(0,421)+1,36= -16.930 X_3 = x_2-f(0,421)/(f’(0,421))= 0,421- (-3,358)/(-16,930)= 0,421-0,198= 0,223 Toleransi= |X_3-x_2 |= |0,223-0,421|= -0,198>〖10〗^(-6) (tidak konvergen) BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Hasil Setelah melakukan percobaan dengan menggunakan program MATLAB, dengan fungsi tersebut diatas dijalankan maka akan menampilkan output seperti berikut: Gas O2 1 22.294591 0.649091 2 22.293282 0.000076 3 22.293282 0.000000 Analitik perhitungan manual dengan Metode Newton Raphson, didapatkan hasil: X_1 = 0,0316 X_2 = 0,421 X_3 = 0,223 4.2 Pembahasan Pada praktikum ini,dipelajari cara untuk menentukan nilai dengan menggunakan metode matlab. Contoh kasus gas ideal dari persamaan Van der Waals, (p+(n^2 a)/V^2 )(V-nb)=nRT Dimana konstanta a dan b merupakan suntansi dari gas. P tekanan, V volume, n mole, dan T temperature (K). R merupakan konstanta dengan nilai 0.0820 liter atm deg-1mole-1. Volume pada 1 mol gas ideal 1 atm, 273 K) adalah 22.415 liter. Kemudian dicari volume 1 mol gas O_2, a= 1,36 ;b= 0,0318 Dari hasil yang diperoleh dapat diketahui bahwa perhitungan dengan menggunakan analitik maupun numerik menghasilkan nilai tidak sama. Pada praktikum ini di gunakan persamaan pada input y=t^3-(22.3542*t^2)+(1.36*t)-0.0432; dan fungsi turunan y=(3*t^2)-(44.7084*t)+1.36; menghasilkan output 22.294591 0.649091, 22.293282 0.000076, dan 22.293282 0.000000, sedangakan dengan perhitungan analitik hasilnya tidak sama yakni X_1 = 0,0316, X_2 = 0,421, X_3 = 0,223. Pada praktikum digunakan 3 iterasi saja. Adanya perbedaan antara hasil analitik dan numeric matlab, dikarenekan factor kesalahan dalam perhitungan manual. BAB V PENITUP 5.1 kesimpulan Berikut adalah beberapa kesimpulan yang diperoleh dari penyelidikan metode NR. Metode NR konvergen secara kuadratik. Di dekat akar sederhana, cacah digit akurat menjadi dua kali lipat pada setiap langkah. Meskipun metode NR memerlukan perhitungan nilai turunan fungsi, telah dapat disusun program Matlab yang dapat melakukan secara simbolik perhitungan turunan fungsi, sehingga tidak perlu dihitung secara manual. Hal ini yang biasanya tidak ditemukan pada implementasi NR yang ada pada beberapa literatur. Metode NR mungkin tidak stabil jika dimulai dari titik yang jauh dari akar yang hendak dicari dan metode NR akan konvergen secara lambat atau mungkin gagal jika kurva fungsinya hampir datar di sekitar akar atau titik-titik belok / balik, yakni jika terjadi f’(x)=0 5.2 Saran Baik metode NR sebaiknya tidak dipakai secara mandiri. Hal ini dikarenakan pemilihan hampiran awal pada metode ini sangat berpengaruh terhadap kekonvergenannya. Oleh karena penelitian ini hanya dibatasi pada fungsi-fungsi satu variabel, maka penelitian ini dapat diteruskan ke fungsi-fungsi dua atau tiga variabel. Masalah ini lebih rumit daripada masalah pencarian akar fungsi satu variabel. Kajian metode NR pada fungsi-fungsi multivariabel merupakan tantangan yang menarik untuk dikaji lebih lanjut. Permasalahan lain yang menarik adalah aplikasi metode NR secara khusus untuk menghampiri akar-akar kompleks polinomial.