RPP satu

Rencana Pelaksanaan Pembelajaran SMP

                                    Satuan Pendidikan                : SMPN 4 JEMBER

                                    Mata Pelajaran                      : Fisika

                                    Kelas/ Semester                     : kelas VIII/2

                                    Materi Pembelajaran            : Tekanan

                                    Alokasi waktu                        : 2X40 menit 

I.                   Standar Kompetensi       :

5. Memahami peranan usaha, gaya dan energy dalam kehidupan sehari-hari

II.                Kompetensi Dasar           :

5.5 menyelidiki tekanan pada benda padat, cair, dan gas serta penerapannya dalam kehidupan sehari-hari.

III.             Indicator

1.      Kognitif

Produk:

a.       Menyebutkan dan menjelaskan bunyi hukum pascal

b.      Menjelaskan prinsip mesin penghasil gaya hidrolik

c.       Menyebutkan peralatan yang menggunakan prinsip mesin penghasil gaya hidrolik.

d.      Menyebutkan bunyi hukum Archimedes

e.       Menyelidiki dan mnentukan besar gaya angkat.

f.       Menjelaskan konsep tenggelam, melayang dan terapung.

g.      Menyebutkan pemanfaatan gaya Archimedes dalam kehidupan sehari-hari.

Proses:

Menyelidiki dan menentukan besar gaya angkat.

2.      Psikomotor:

(tidak ada aspek psikomotor)

3.      Afektif

a.       Mengembangkan  berilaku berkarakter meliputi:

1.)    Jujur

2.)    Tanggung jawab

3.)    Teliti

b.      Mengembangkan keterampilan sosial meliputi

1.)    Bertanya

2.)    Menyumbang ide dan berpendapat

3.)    Berkomunikasi

4.)    Bekerjasama

5.)    berdiskusi

IV.             Tujuan Pembelajaran:

1.      Kognitif

Produk:

a.       Melalui bahan ajar, siswa dapat menyebutkan dan menjelaskan bunyi hokum pascal.

b.      Melalui bahan ajar, siswa dapat menjelaskan prinsip mesin penghasil gaya hidrolik.

c.       Melalui bahan ajar, siswa dapat menyebutkan peralatan yang menggunakan prinsip mesin penghasil gaya hidrolik.

d.      Melalui bahan ajar, siswa dapat menyebutkan bunyi hukum Archimedes

e.       Melalui LKS siswa dapat menyelidiki dan mnentukan besar gaya angkat.

f.       Melalui LKS, siswa dapat menjelaskan konsep tenggelam, melayang dan terapung.

g.      Melalui bahan ajar, siswa dapat enyebutkan pemanfaatan gaya Archimedes dalam kehidupan sehari-hari.\

Proses:

Melalui LKS siswa dapat menyelidiki dan menentukan besar gaya angkat.

2.      Psikomotor:

(tidak ada aspek psikomotor)

3.      Afektif

1.      Karakter

Terlibat dalam proses kegiatan belajar mengajar berpusat pada siswa, paling tidak siswa dinilai pengamat membuat kemajuan dalam menunjukkan perilaku berkarakter meliputi: jujur, teliti dan bertanggung jawab.

2.      Keterampilan Sosial

Terlibat dalam proses kegiatan belajar mengajar berpusat pada siswa, paling tidak siswa dinilaib pengamat membuat kemajuan dalam menunjukkan keterampilan sosial bertanya, menyumbang idea tau berpendapat, berkomunikasi dan kerjasama.

V.                Materi Pembelajaran

a.      Hukum Pascal

Hukum Pascal menyatakan bahwa Tekanan yang diberikan zat cair dalam ruang tertutup diteruskan ke segala arah dengan sama besar. Perbedaan tekanan karena perbedaan kenaikan zat cair diformulakan sebagai berikut:

dimana, dalam sistem SI,

ΔP = tekanan hidrostatik (dalam satuan pascal atau Pa),

ρ = massa jenis zat cair (kg/ )

g = percepatan gravitasi (m/ )

Δh = ketinggian zat cair di atas titik pengukuran (m)

                                   

Alat ini berupa bejana tertutup yang dilengkapi dengan dua buah torak (pengisap) yang luas penampangnya berbeda, yaitu A₁ < A₂ dan di dalam bejana terdapat benda cair. Diumpamakan pada torak yang luasnya A₁ bekerja gaya sebesar F₁ yang arahnya ke bawah yang besarnya sama dengan P₁. Tekanan P₁ ini diteruskan sama rata ke segala arah. Termasuk di torak yang luasnya A₂, kita dapat menghitung gaya yang dialami oleh torak disebelah kanan dengan mengalikan tekanan P dengan luas penampang torak A₂. Jika gaya itu kita sebut F₂, maka didapat persamaan sebagai berikut :

rumus hukum pascal

 Keterangan :

F1 = besar gaya penghisap 1 (N)

F2 = besar gaya penghisap 2 (N)

A1 = Luas penampang penghisap 1 (m²)

A2 = Luas penampang penghisap 2 (m²)

b.      Apikasi Hukum Pascal

Hukum Pascal banyak dimanfaatkan untuk membantu pekerjaan manusia. Contoh alat yang prinsip kerjanya berdasarkan hukum Pascal :

                        * Dongkrak hidrolik

                        * Pompa hidrolik

                        * Mesin hidrolik pengangkat mobil

                       * Alat pengepres hidrolik.

Hukum Pascal pada Dongkrak Hidrolik.

Dongkrak hidrolik merupakan salah satu aplikasi sederhana dari Hukum Pascal. Berikut ini prinsip kerja dongkrak hidrolik berdasarkan hukum pascal. Saat pengisap kecil diberi gaya tekan, gaya tersebut akan diteruskan oleh fluida (minyak) yang terdapat di dalam pompa. Akibatnya Berdasarkan Hukum Pascal, minyak dalam dongkrak akan menghasilkan gaya angkat pada pengisap besar dan dapat mengangkat beban di atasnya.

Gambar Skema dongkrak hidrolik

Hukum Pascal pada Mesin Hidrolik Pengangkat Mobil.

Aplikasi hukum pascal berikutnya adalah mesin hidrolik pengangkat mobil ini memiliki prinsip yang sama dengan dongkrak hidrolik. Perbedaannya terletak pada perbandingan luas penampang pengisap yang digunakan. Pada mesin pengangkat mobil, perbandingan antara luas penampang kedua pengisap sangat besar sehingga gaya angkat yang dihasilkan pada pipa berpenampang besar dan dapat digunakan untuk mengangkat mobil.

Gambar Mesin hidrolik pengangkat Mobil

 Hukum Pascal pada Rem Hidrolik

Aplikasi hukum pascal berikutnya adalah Rem hidrolik digunakan pada mobil. Ketika Anda menekan pedal rem, gaya yang Anda berikan pada pedal akan diteruskan ke silinder utama yang berisi minyak rem. Selanjutnya, minyak rem tersebut akan menekan bantalan rem yang dihubungkan pada sebuah piringan logam sehingga timbul gesekan antara bantalan rem dengan piringan logam. Gaya gesek ini akhirnya akan menghentikan putaran roda.

Gambar Prinsip kerja rem hidrol

c.       Hukum Archimedes

Bunyi Hukum Archimedes. Hukum Archimede adalah sebuah hukum tentang prinsip pengapungan diatas benda cair yang ditemukan oleh Archimedes, seorang ilmuwan Yunani yang juga merupakan penemu pompa spiral untuk menaikan air yang dikenal dengan istilah Sekrup Archimede. Hukum Archimedes berhubungan dengan gaya berat dan gaya ke atas suatu benda jika dimasukan kedalam air. Berikut ini adalah bunyi hukum Archimedes yang sangat terkenal itu.

Bunyi Hukum Archimedes

“Suatu benda yang dicelupkan sebagian atau seluruhya kedalam zat cair akan mengalami gaya ke atas yang besarnya sama dengan berat zat cair yang dipindahkan oleh benda tersebut”

Rumus Hukum Archimedes 

FA =  ρa x Va x g

Keterangan:  FA =  Gaya keatas yang dialami benda (N)  ρa=  Massa Jenis zat cair (kg/m3)           Va=  Volume air yang terdesak (m3) g = Percepatan Gravitasi (m/det2)

Berdasarkan bunyi dan rumus hukum Archimede diatas, suatu benda yang akan terapung, tenggelam atau melayang didalam zat cair tergantung pada gaya berat dan gaya keatas. Maka dari itu, berdasarkan hukum diatas, terciptalah 3 hukum turunan dari hukum Archimedes yang berbunyi:

1. Benda akan terapung jika massa jenis benda yang dimasukan kedalam air lebih kecil dari massa jenis zat cairnya

2. Benda akan melayang jika massa jenis benda  yang dimasukan kedalam air sama dengan massa jenis zat cairnya

3. Benda akan tenggelam jika massa jenis benda yang dimasukan kedalam air lebih besar dari pada massa jenis zat cairnya

d.      Pemnfaatan Hukum Archimedes

Kapal Laut

Agar kapal laut tidak tenggelam badan kapal harus dibuat berongga. hal ini
bertujuan agar volume air laut yang dipindahkan oleh badan kapal menjadi lebih besar. Berdasarkan persamaan besarnya gaya apung sebanding dengan volume zat cair yang dipindahkan, sehingg gaya apungnya menjadi sangat besar. Gaya apung inilah yang mampu melawan berat kapal, sehingga kapal tetap dapat mengapung di permukaan laut.

Kapal Selam dan Galangan Kapal

Pada dasarnya prinsip kerja kapal selam dan galangan kapal sama. Jika kapal akan menyelam, maka air laut dimasukkan ke dalam ruang cadangan sehingga berat kapal bertambah. Pengaturan banyak sedikitnya air laut yang dimasukkan, menyebabkan kapal selam dapat menyelam pada kedalaman yang dikehendaki. Jika akan mengapung, maka air laut dikeluarkan dari ruang cadangan. Untuk memperbaiki kerusakan kapal bagian bawah, digunakan galangan kapal. Jika kapal akan diperbaiki, galangan kapal ditenggelamkan dan kapal dimasukkan. Setelah itu galangan diapungkan. Galangan ditenggelamkan dan diapungkan dengan cara memasukkan dan mengeluarkan air laut pada ruang cadangan.

VI.             Model dan Metode Pembelajaran

Model Pembelajaran : Cooperatif Learning

Metode Pembelajaran : ceramah,diskusi, penugasan

VII.          Proses Belajar Mengajar

A.    Pendahuluan

Kegiatan	penilaian oleh pengamat
	1	2	3	4
1.      Apersepsi dan Motivasi “Mengapa pancuran teko tidak boleh lebih rendah daripada posisi tutupnya? Ketika tutup teko lebih tinggi dari tutupnya maka air akan keluar dari tutupnya juga.
2.      Mengkomunikasikan tujuan pembelajaran: kognitif (produk, proses); psikomotor;dan efektif (keterampilan sosial dan perilaku berkarakter)

B.     Kegiatan Inti

Kegiatan	penilaian oleh pengamat
	1	2	3	4
§  Eksplorasi Dalam kegiatan Elaborasi, guru: a.       Menyebutkan dan menjelaskan bunyi hukum pascal b.      Menjelaskan prinsip mesin penghasil gaya hidrolik c.       Menyebutkan peralatan yang menggunakan prinsip mesin penghasil gaya hidrolik. d.      Menyebutkan bunyi hokum Archimedes e.       Menyelidiki dan mnentukan besar gaya angkat. f.       Menjelaskan konsep tenggelam, melayang dan terapung g.      Menyebutkan pemanfaatan gaya Archimedes dalam kehidupan sehari-hari. §  Elaborasi Dalam kegiatan Elaborasi, guru: a.       Peserta didik (dibimbing oleh guru) mendiskusikan tentang bunyi hukum pascal b.      Peserta didik memperhatikan penjelasan guru mengenai peralatan yang menggunakan prinsip pascal, mesin hidrolik. c.       Peserta didik memperhatikan penjelasan guru mengenai hukum Archimedes. d.      Peserta didik memperhatikan penjelasan dari guru mengenai manfaat gaya archimedes dalam kehidupan sehari-hari. e.       Peserta didik diminta untuk berkelompok menegerjakan LKS f.       Guru mendampingi siswa mengerjakan LKS untuk menemukan konsep tenggelam, melayang dan terapung, serta membuat kesimpulan dari LKS yang dikerjakan. g.      Peserta didik mempresentasikan hasil diskusi kelompok secara klasikal h.      Guru menanggapi hasil diskusi kelompok peserta didik dan memberikan informasi yang seharusnya. §  Konfirmasi Dalm kegiatan Konfirmasi: a.       Guru bertanya jawab tentang hal-hal yang belum diketahui siswa b.      Guru bersama siswa bertanya jawab meluruskan kesalahan pemahaman, memberikan penguatan dan penyimpulan.

C.    Penutup

Kegiatan	penilaian oleh pengamat
	1	2	3	4
Dalam kegiatan Penutup: a.       Guru meminta siswa untuk mempeljari meteri selanjutnya

VIII.        Sumber Pembelajaran

1.      Silabus

2.      LKS

3.      Bahan Ajar

IX.             Penilaian Hasil belajar

Indicator Pencapaian Kompetensi	Teknik penilaian	Bentuk Instrimen	Istrumen
1.      Pruduk: a.       Menyebutkan dan menjelaskan bunyi hukum pascal. b.      Menjelaskan prinsip mesin penghasil gaya hidrolik. c.       Menyebutkan peralatan yang menggunakan prinsip mesin penghasil gaya hidrolik. d.      Menyebutkan bunyi hokum Archimedes e.       Menyelidiki dan mnentukan besar gaya angkat f.       Menjelaskan konsep tenggelam, melayang dan terapung. g.      Menyebutkan pemanfaatan gaya Archimedes dalam kehidupan sehari-hari 2.      Prosees  Mengerjakan LKS untuk menyelidiki dan menentukan besar gaya angkat. 3.      Terlibat dalam KBM yang berpusat pada siswa, siswa dapat melakukan komunikasi meliputi bertanya, dan berpendapat.	Tes tulis Tes unjuk kerja Tes unjuk kerja	Tes isian dan pilihan ganda Lembar observasi Lembar observasi Lembar pengamatan aktivtas siswa	LP01 LP 02 LP 03 LP 04

Jember, 5 Maret 2013

Mahasiswa/Praktikan,

Tri Mardiyanti R.

NIM. 090210102039

Mengetahui

Guru Pamong,                                                             Dosen Pembimbing,

Dra. Susiani                                                                 Drs. Subiki, M.Kes

NIP. 19680826199802 2 004                                     NIP.196307251994021001   

Kepala Sekolah,

Dra. Yayuk Kurniayani, M.Si

                                                   NIP. 19600929 198203 2 010

LEMBAR KERJA SISWA (LKS-01)

Nama              : . . . . . . . . . . . . . . . .                                                               Kelas   : . . . . . . . .

1. Dari gambar berikut dapat kita analisis bahwa:

1. F adalah …………… dengan satuan Newton (N)
2.  >  adalah luas penampang dengan satuan……………

2. Skema pompa hidrolik dilukiskan pada gambar soal. No1 diatas

Hitunglah gaya angkat !

Jika di ketahui nilai  = 24     , = 120    ,  = 150N

Jawab: …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

3. Sebuah wadah setinggi 0,6 m memiliki luas alas 0,4 . Wadah di isi pebuh dengan air. Tentukan tekanan pada kedalaman 10 cm serta gaya hidrostatis di dalam wadah! (ρair= 1000kg/ )

Jawab: …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

GOOD LUCK….!!!

                                    KUNCI LEMBAR KERJA SISWA (LKS-01)

1. a. F adalah gaya tekan dengan satuan Newton (N)

b.     >  adalah luas penampang dengan satuan .

2. Diketahui:

Luas kolom pertama ( ) = 24

                                          =

Luas kolom kedua ( )= 120

= 1,2 X 

Gaya tekan di kolom 1 ( ) = 150N

Ditanyakan: gaya angkat di kolom ke dua ( )

Jawab:

                             =

                                                =

                                                   = 750 N

Jadi gaya angkat di kolom kedua  sebesar 750N.

3. Diketahui:

h= 0,6 m

A= 0,4

h = 10 cm= 0,1 m

ρair= 1000kg/

ditanyakan:

a.       P saat h= 10 cm

b.      F d dasar wadah

Jawab:

a.       P= ρair g h                                   b. Fh= ρair g h

LKS-02

Nama   Anggota:

Kelompok       : …

1.      Apa yang dapat Anda jelaskan dari gambar di atas ?

2.      Bagaimana dengan gaya angkat  saat kapal selam  dalam posisi c  jika kita bandingkan dengan saat kapal selam berada di permukaan laut posisi a ?

3.      Mengapa demikian ?

4.      Jika jarak kapal selam semakin dekat  dengan dasar laut atau semakin jauh dari permukaan laut, apa yang terjadi dengan gaya pada kapal selam? jelaskan alasan Anda!

5.      Apa yang dapat Anda simpulkan dari kasus di atas ?

KUNCI LKS-02

1. Sebuah kapal selam dapat muncul di permukaan laut dan dapat tenggelam. Di dalam kapal selam terdapat tangki pemberat yang dapat diisi air laut atau dikosongkan.
2. Gaya berat pesawat akan semakin kecil.
3. Hal tersebut dapat terjadi karena gaya angkat kapal selam berbanding terbalik dengan gaya berat kapal selam terhadap permukaan laut.
4. Jika kapal selam bergerak menjauhi permukaan laut maka gaya angkat kapal selam akan semakin kecil, demikian sebaliknya
5. Gaya angkat suatu benda dipengaruhi oleh gaya berat. Jika benda tersebut semakin jauh dari permukaan laut, maka akan semakin kecil gaya angkatnya,demikian sebaliknya

LP-01 EVALUASI KOGNITIF PRODUK

No.	NAMA SISWA	NOMOR SOAL					Skor siswa
		1.		2.	3.
		a	b		a	b
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 dst

Keterangan :      Skor Maksimum 1a=1b=2=3a=3b= 20

LP-02 EVALUASI KOGNITIF PROSES

No.	NAMA SISWA	NOMOR SOAL					Skor siswa
					4	5
		1	2	3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 dst

Keterangan: Skor maksimum masing-masing nomor = 10

LP-03 EVALUASI AFEKTIF PERILAKU BERKARAKTER

Penilaian perilaku berkarakter siswa menggunakan skala berikut ini:

A.     Sangat Baik			B.	B.     Baik		C.     Cukup	D.    Kurang
No.	Nama Siswa		Rincian Tugas Kinerja
			Jujur		Tanggunga jawab		Teliti
1.
2.
3.
4.
5.
6.	.
7.
8.
9.
10.

LP-04 EVALUASI AFEKTIF KETERAMPILAN SOSIAL

Penilaian keterampilan sosial siswa menggunakan skala berikut ini:

A.     Sangat Baik

B.

C.

B.Baik

C.     Cukup

D.    Kurang

No.	Nama Siswa	Rincian Tugas Kinerja
		Bertanya	Berpendapat	Bekerjasama
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.

bhsaa

TUGAS 1

1.      Cari dan temukan kesalahan penggunaan ejaan di karya ilmiah atau media massa cetak (surat kabar, jurnal, atau majalah) minimal 10 kesalahan!

2.      Potong atau fotokopilah bagian yang Anda temukan ada kesalahan penggunaan ejaannya!

3.      Analisislah kalimat yang Anda temukan dan buatlah pembetulannya!

4.      Sebutkan sumber media massa tempat Anda menemukan kesalahan penggunaan ejaan itu!

Artikel 1

Sumber: Radar Jember, 15 September 2012

Karena itu, Mbah Muchit (1. men-gaku= me-ngaku perlu (2. bicara= berbicara) dengan kalangan pers (3. soal= mngenai) menjamurnya mini market berjaringan. “Saya perlu (4. Ngomong= bicara) pada pers agar penolakan mini market diketahui berbagai pihak.” (5. ungkap= ujar) saudara kandung mantan (6. ketua= Ketua) PB NU Hasyim Muzadi tersebut. Warga sekitar merasa kecewa dengan diteruskannya (7. pemban-gunan= pemba-ngunan) mini market di (8. daerahnya= daerah tersebut). Warga sangat yakin  tidak ada persetujuan (9. dari=dengan) warga setempat jika instansi yang berwenang (10. men-gaku= mengaku) tealah (11. mengantongi= mendapat) persetujuan warga. “Banyak warga yang tidak tahu (12. soal= mengenai) izin mini market ini,” (13. ungkap=ujar) warga setempat yang tidak mau disebut (14. naman-ya=nama-nya). Persetujuan tersebut palsu dan (15. dimungkinkan= mungkin) (16. Ditandatan-gani= ditanda-tangani) oleh warga di luar (17. Lingkun-gan=lingku-ngan).

Artikel 2

Sumber: Radar Bondowoso, 15 September 2012

Membawakan tali tampar untuk diberikan (18. ke pemanjat= kepada pemanjat). Namun (19. usai=setelah) berhasil (20. menggondol= mendapat) hadiah (21. para peserta= peserta) yang berkelompok itu menjual (22. sepeda pancal= sepeda) yang baru (23.didapat= didapatkan).

Artikel 3

Sumber: Metropolis, 15 September 2012

-Mereka cukup berangkat (24.dari rumah) membawa pakaian dan perlengkapan yang diperlukan.

-Mereka cukup berangkat membawa pakaian dan perlengkapan yang diperlukan (24.dari rumah)

(stuktur kalimat S-P-O-K)

Artikel 4

Sumber: Surya, 26 April 2012

Tom-tom (25.malah= bahkan) sudah melamar pemilik Goyang Ngecor (26. Itu= tersebut). Heru (27. enggan= tidak mau) mengungkap tetang kabar pernikahan me-reka. Ia meminta lang-sung menghubungi penyanyi yang (28. punya= mempunyai) nama asli Utami Suryaningsih (29. itu= tersebut).    

tulis deh apa yang kamu pengen tulis... :D

PROJECT KOMPUTASI SEMOGA DAPAT NILAI BAGUS

BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Komputasi sebetulnya bisa diartikan sebagai cara untuk menemukan pemecahan masalah dari data input dengan menggunakan suatu algoritma. Hal ini ialah apa yang disebut dengan teori komputasi, suatu sub-bidang dari ilmu komputer dan matematika. Selama ribuan tahun, perhitungan dan komputasi umumnya dilakukan dengan menggunakan pena dan kertas, atau kapur dan batu tulis, atau dikerjakan secara mental, kadang-kadang dengan bantuan suatu table. Namun sekarang kebanyakan komputasi telah dilakukan dengan menggunakan komputer. Metode Newton (lengkapnya Newton—Raphson, disingkat NR) merupakan salah satu metode terpopuler untuk menghampiri penyelesaian persamaan f (x) 0 = secara iterative. Metode NR menggunakan sebuah hampiran awal dan nilai turunan padanya untuk mendapatkan hampiran berikutnya. Meskipun metode NR memerlukan perhitungan turunan fungsi, dengan program Matlab untuk masukan cukup digunakan rumus fungsinya dan Matlab dapat menghitung turunan fungsinya. Hal ini dilakukan dengan perhitungan simbolik. Program Matlab yang disusun dengan program-program implementasi metode NR yang ditemukan di dalam berbagai literatur. Pada suatu permasalahan fisika, banyak soal-soal yang sulit untuk diselesaikan secara analitik. Alternatif lain untuk mendapatkan hasil yang diingikan adalah menggunakan metode numerik. Kali ini kita menggunakan metode newton raphson untuk menyelesaikan suatu problem fisika. Metode ini diturunkan dari ekspansi deret Taylor disekitar akar x. Rumusan Masalah Bagamana implementasi metode Newton Raphson dalam menyelesaikan gas ideal dengan program MATLAB dan analitiknya? Tujuan tujuan fisika komputasi yaitu mahasiswa mampu mengeksploitasi secara efektif piranti komputer dalam aktivitas keilmuan fisika dengan keseimbangan intuisi fisika, analisa numerik dan pemrograman komputer , bisa tercapai. BAB II DASAR TEORI 2.1 Metode Newton Raphson Metode ini diturunkan dari ekspansi deret Taylor disekitar akar x. Andaikan awaknya diberikan nilai x1 sehingga terjadi simpangan d=(x1 -x) dari akar yang dicari, atau bisa ditulis bahwa x=(x1.-d) Ekspansi deret Taylor disekitar x memberikan f(x)= f(x1-d)=f(x1)-d*(x1)+0(d^2 ) Karena nilai fungsi di titik akar x adalah f(x) = 0, maka: 0= f(x1)-d*f’(x1)+0(d^2 ) D=f(x1)/(f^' (x1) )+0(d^2 ) Dengan menganggap bahwa O(d2) adalah error komputasi maka dan bahwa d = x1-x, persamaan iterasi Newton dapat ditulis sebagai berikut: x=x1-d=x1-f(x1)/(f^' (x1) ) atau X_(n+1)=Xn-f(x1)/(f^' (x1) ) Metode Newton Raphson ini memiliki paling tidak dua kelebihan dibanding metode biseksi, yaitu hanya memerlukan satu titik coba awal dan iterasinya berjalan lebih cepat. Kekurangannya yaitu f(x) harus bisa diturunkan karena nilai f’(x) diperlukan dalam komputasi. Hal lain yang perlu diperhatikan adalah pemilihan titik awal harus disekitar akar yang diingikan karena bisa saja proses menjadi divergen atau berosilasi karena titik awalnya sangat jauh dari akar yang dicari. Metode Newton raphson adalah metode iterasi lain untuk memecahkan persamaan f(x)=0, dengan f diasumsikan mempunyai turunan kontinyun f’. Secara geometri metode ini menggunakan garis singgung sebagai hampiran fungsi. Gagasan dasarnya adalah grafik f dihampiri dengan garis-garis singgung yang sesuai. Dengan menggunakan suatu nilai X0 sebagai tebakan awal yang diperoleh dengan melokalisasi akar-akar dari f(x) dan garis singgung pada kurva f di titik (x1,f(x1). Prosedur yang sama diulang, menggunakan nilai terbaru sebagai nilai coba untuk iterasi selanjutnya. Ilustrasi salah satu iterasi metode Newton (fungsi ƒditunjukkan dengan warna biru dan garis singgung dalam warna merah). Kita melihat bahwa xn+1 adalah hampiran yang lebih baik daripada xnuntuk akar x dari fungsi f. 2.2 Definisi Iterasi Newton Raphson (Atkinson, 1993:69; Mathew, 1992:72) Misalkan fungsi f mempunyai turunan pertama f’. barisan x_0, x_1, x_2, ….yang diperoleh dari iterasi untuk n= 1,2,3,… disebut barisan iterasi Newton. Fungsi g yang didefinisikan sebagai disebut fungsi iterasi Newton – Raphson 2.2 Penurunan Rumus Iterasi Newton Raphson Iterasi Newton – Raphson berawal dari sebuah hampiran awal untuk akar r, kemudian menghitung hampiran selanjutnya dengan cara sebagai berikut: Misalkan x_n adalah hampiran awal pada langkah ke-n, n=0,1,2,3,… Hitung gradient garis singgung trhadap kurva y= f(x) di titik (x_n, f(x_n)), yakni f’ (x_n) dan temtikan persamaan garis singgungnya, yakni y= f’ (x_n) (x-x_n)+ f(x_n) Hampiran berikutnya adalah absis titik potong garis singgung tersebut dengan sumbu-x, yakni Langkah tersebut diperlihatkan pada gambar: Rumus iterasi juga dapat diturunkan dari deret Taylor f(x) disekitar Xn, yakni: dengan mengasumsikan x0 dan hampiran berikutnya, Xn cukup dekat ke akar r dan mengabaikan suku ke-3 dan seterusnya pada ruas kanan akan diperoleh. Dalam hal ini fungsi f(x) telah dihampiri oleh garis singgung di titik (x_n, f(x_n)), Jadi pada prinsipnya sama dengan pendekatangeometris sebelumnya. 2.3 Kelebihan dan Kekurangan Metode Newton Raphson BAB III SOAL DAN PENYELESAIAN 3.1 Soal The van der Waals equation of state, a simple extension of the ideal-gas law discovered in 1873 by Dutch physicist Johanes Diderik van der Waals, is (p+(n^2 a)/V^2 )(V-nb)=nRT Where the constant a and b, characteristic of the substance of the gas, are determined experimentally. For P in atmosphere, V in liters, n in moles, and T in kelvins. R is approximately 0.0820 liter atm deg-1mole-1. The volume of 1 mole of a perfect gas at standard conditions (1 atm, 273 K) is 22.415 liters. Find the volume occupied by 1 mole of the following gases, with given values of a and b : gas O_2, a= 1,36 ;b= 0,0318 3.2 Penyelesaian Langkah pertama adalah menentukan fungsi dari persamaan Van der Waals seperti berikut: (p+(n^2 a)/V^2 )(V-nb)=nRT PV+Pnb+(n^2 a)/V^2 -(n^3 ab)/V^2 =nRT Kedua ruas dikalikan dengan V2 sehingga: 〖PV〗^2+〖PnbV〗^2+n^2 aV-n^3 ab=nRT 〖PV〗^3+〖PnbV〗^2-nR〖TV〗^2+n^2 aV-n^3 ab=0 Kita substitusikan nilai P = 1 atm, T = 273 K, n = 1 mol sehingga kita dapatkan fungsi V^3+〖bV〗^2-22,386V^2+aV-ab=0 Selanjutnya untuk Gas O_2 diperoleh persamaan: V^3-22,3542V^2+1,36V-0,0432=0 Setelah fungsi dari gas didapatkan, selanjutnya kita buat listing program MATLAB untuk mencari akar riilnya. Perlu diingat bahwa fungsi dari tiap kasus berbeda sehingga untuk mencari akar dari kasus yang berbeda kita harus mengganti fungsi yang ada pada program MATLAB terlebih dahulu. Berikut ini listing program untuk mencari akar riil dari fungsi gas O_2 yang telah ditentukan: Metode Newton – Raphson Kita buat Mfile M-File (lembar kerja 1) function y=fungsigas(t) y=t^3-(22.3542*t^2)+(1.36*t)-0.0432; Karena dalam metode Newton Raphson memerlukan turunan fungsinya maka kita juga harus membuat listing fungsi turunannya seperti berikut: M-file (lembar kerja 2) function y=turunangas(t) y=(3*t^2)-(44.7084*t)+1.36; Setelah membuat fungsi utama beserta turunannya, kita buat program perhitungannya. Ketik pada Common Window M-file (lembar kerja 3) toleransi=0.00001; i=0; v0=22.415; fv0=fungsigas(v0); while (abs (fv0)>toleransi) i=i+1; v0=v0-(fungsigas(v0)/turunangas(v0)); fv0=fungsigas(v0); %Hitung f(Xn+1) fprintf('%d %f %f\n',i,v0,fv0); end Kemudian output yang didapat adalah 22.294591 0.649091 22.293282 0.000076 22.293282 0.000000 Penyelesaian Manual Metode Newton – Raphson f(x)= V^3-22,3542V^2+1,36V-0,0432 f’(x)= 3V^2-44,708V+1,36 X_0= 0 f(0)=-0,0432 f’(0)= 1,36 X_1 = x_0-f(0)/(f’(0)) = 0- ((-0,0432))/1,36 =0,0316 Toleransi= |X_1-x_0 | = |0,0316-0|= 0,0316> 〖10〗^(-6) (tidak konvergen) f(0,0316)= 〖0,0316〗^3-22,3542〖(0,0316)〗^2+1,36(0,0316)-0,0432= -0,0225 f’(0,0316)= 3〖(0,0316)〗^2-44,7084(0,0316)+1,36= -0,0497 X_2 = x_1-f(0,0316)/(f’(0,0316)) = 0,0316- ((-0,0225))/(-0,0497) = 0,421 Toleransi= |X_2-x_1 |= |0,421-0,0316|=0,389>〖10〗^(-6) (tidak konvergen) f(0,421)= 〖0,421〗^3-22,3542〖(0,421)〗^2+1,36(0,421)-0,0432= -3,358 f’(0,421)= 3〖(0,421)〗^2-44,7084(0,421)+1,36= -16.930 X_3 = x_2-f(0,421)/(f’(0,421))= 0,421- (-3,358)/(-16,930)= 0,421-0,198= 0,223 Toleransi= |X_3-x_2 |= |0,223-0,421|= -0,198>〖10〗^(-6) (tidak konvergen) BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Hasil Setelah melakukan percobaan dengan menggunakan program MATLAB, dengan fungsi tersebut diatas dijalankan maka akan menampilkan output seperti berikut: Gas O2 1 22.294591 0.649091 2 22.293282 0.000076 3 22.293282 0.000000 Analitik perhitungan manual dengan Metode Newton Raphson, didapatkan hasil: X_1 = 0,0316 X_2 = 0,421 X_3 = 0,223 4.2 Pembahasan Pada praktikum ini,dipelajari cara untuk menentukan nilai dengan menggunakan metode matlab. Contoh kasus gas ideal dari persamaan Van der Waals, (p+(n^2 a)/V^2 )(V-nb)=nRT Dimana konstanta a dan b merupakan suntansi dari gas. P tekanan, V volume, n mole, dan T temperature (K). R merupakan konstanta dengan nilai 0.0820 liter atm deg-1mole-1. Volume pada 1 mol gas ideal 1 atm, 273 K) adalah 22.415 liter. Kemudian dicari volume 1 mol gas O_2, a= 1,36 ;b= 0,0318 Dari hasil yang diperoleh dapat diketahui bahwa perhitungan dengan menggunakan analitik maupun numerik menghasilkan nilai tidak sama. Pada praktikum ini di gunakan persamaan pada input y=t^3-(22.3542*t^2)+(1.36*t)-0.0432; dan fungsi turunan y=(3*t^2)-(44.7084*t)+1.36; menghasilkan output 22.294591 0.649091, 22.293282 0.000076, dan 22.293282 0.000000, sedangakan dengan perhitungan analitik hasilnya tidak sama yakni X_1 = 0,0316, X_2 = 0,421, X_3 = 0,223. Pada praktikum digunakan 3 iterasi saja. Adanya perbedaan antara hasil analitik dan numeric matlab, dikarenekan factor kesalahan dalam perhitungan manual. BAB V PENITUP 5.1 kesimpulan Berikut adalah beberapa kesimpulan yang diperoleh dari penyelidikan metode NR. Metode NR konvergen secara kuadratik. Di dekat akar sederhana, cacah digit akurat menjadi dua kali lipat pada setiap langkah. Meskipun metode NR memerlukan perhitungan nilai turunan fungsi, telah dapat disusun program Matlab yang dapat melakukan secara simbolik perhitungan turunan fungsi, sehingga tidak perlu dihitung secara manual. Hal ini yang biasanya tidak ditemukan pada implementasi NR yang ada pada beberapa literatur. Metode NR mungkin tidak stabil jika dimulai dari titik yang jauh dari akar yang hendak dicari dan metode NR akan konvergen secara lambat atau mungkin gagal jika kurva fungsinya hampir datar di sekitar akar atau titik-titik belok / balik, yakni jika terjadi f’(x)=0 5.2 Saran Baik metode NR sebaiknya tidak dipakai secara mandiri. Hal ini dikarenakan pemilihan hampiran awal pada metode ini sangat berpengaruh terhadap kekonvergenannya. Oleh karena penelitian ini hanya dibatasi pada fungsi-fungsi satu variabel, maka penelitian ini dapat diteruskan ke fungsi-fungsi dua atau tiga variabel. Masalah ini lebih rumit daripada masalah pencarian akar fungsi satu variabel. Kajian metode NR pada fungsi-fungsi multivariabel merupakan tantangan yang menarik untuk dikaji lebih lanjut. Permasalahan lain yang menarik adalah aplikasi metode NR secara khusus untuk menghampiri akar-akar kompleks polinomial.